粗糙集区间与模糊算子对如下
$$ \begin{array} {c|c}{rough} & 区间下界 sup & 区间上界 sub \\ \hline 值 &\color{red}{0.3} &\color{blue}{0.7} \\ \hline \end{array} $$
$$ \begin{array} {c|c}{OP} & 模糊乘 \odot & 模糊加 \oplus \\ \hline 名称 &\color{red}{取最小} &\color{blue}{取最大} \\ \hline 计算公式 &\color{red}{min(p,q)} &\color{blue}{max(p,q) } \\ \hline \end{array} $$
模糊相乘矩阵
$$\tilde B=\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &0.24 &0.35 &0.08 &0.39 &0 &0 &0.63 &0.23 &0.98\\ \hline B &0.8 &1 &0 &0.48 &0.84 &0.07 &0 &0.75 &0.27 &0.56\\ \hline C &0.98 &0.01 &1 &0.75 &0.92 &0.28 &0.97 &0.93 &0.1 &0.97\\ \hline D &0.95 &0.22 &0.59 &1 &0.69 &0.81 &0.62 &0.9 &0.2 &0.77\\ \hline E &0.16 &0.91 &0.71 &0.46 &1 &0.25 &0.64 &0 &0.55 &0.04\\ \hline F &0 &0 &0.61 &0.31 &0.02 &1 &0.49 &0.41 &0.99 &0.23\\ \hline G &0.67 &0 &0.06 &0.61 &0.69 &0.58 &1 &0.6 &0.23 &0.81\\ \hline H &0.65 &0.21 &0.89 &0.06 &0.88 &0 &0.9 &1 &0.17 &0.4\\ \hline I &0 &0.33 &0.42 &0.4 &0.58 &0.57 &0 &0.48 &1 &0.14\\ \hline J &0.54 &0.75 &0 &0.53 &0.04 &0.05 &0.17 &0.63 &0.03 &1\\ \hline \end{array} $$
截域后的模糊相乘矩阵
$$F_{0.3-0.7}=\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &0 &0.35 &0 &0.39 &0 &0 &0.63 &0 &1\\ \hline B &1 &1 &0 &0.48 &1 &0 &0 &1 &0 &0.56\\ \hline C &1 &0 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1\\ \hline D &1 &0 &0.59 &1 &0.69 &1 &0.62 &1 &0 &1\\ \hline E &0 &1 &1 &0.46 &1 &0 &0.64 &0 &0.55 &0\\ \hline F &0 &0 &0.61 &0.31 &0 &1 &0.49 &0.41 &1 &0\\ \hline G &0.67 &0 &0 &0.61 &0.69 &0.58 &1 &0.6 &0 &1\\ \hline H &0.65 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &1 &0 &0.4\\ \hline I &0 &0.33 &0.42 &0.4 &0.58 &0.57 &0 &0.48 &1 &0\\ \hline J &0.54 &1 &0 &0.53 &0 &0 &0 &0.63 &0 &1\\ \hline \end{array} $$
取出的模糊可达矩阵
$$\tilde R=\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F &0.61 &0.61 &0.61 &0.61 &0.61 &1 &0.61 &0.61 &1 &0.61\\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I &0.58 &0.58 &0.58 &0.58 &0.58 &0.58 &0.58 &0.58 &1 &0.58\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$ 阈值集合\ddot \Delta = (0.58, 0.61, 1) $$
求解出所有的对应的截矩阵
取截距的定义$$ r _{ij}= \left\{ \begin{array}{ll}1 & \textrm{当：$ \tilde r_{ij} ≥\lambda $}\\ 0 & \textrm{当：$ \tilde r_{ij} < \lambda $ } \end{array} \right.$$
当前的截距 $\lambda$ = 0.58
$$M_{0.58} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
当前的截距 $\lambda$ = 0.61
$$M_{0.61} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
当前的截距 $\lambda$ = 1
$$M_{1} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
截域所有结构的拓扑不变性分析
把所有的截距阵的可达矩阵计算出来，并对一系列的可达矩阵进行去重。得到新的可达矩阵系列。
去重后的所有截距阵的可达矩阵如下：
$$R_{0.58} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$R_{0.61} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I & & & & & & & & &1 & \\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$R_{1} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F & & & & & &1 & & &1 & \\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I & & & & & & & & &1 & \\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
上述可达矩阵的交集得到矩阵称之为最小基
可达矩阵的交集所得的矩阵，通常就是截取区段的上界(Sub)的截距阵的可达矩阵。其骨架矩阵即为最小基。$$Meet=Base=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline B &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline E &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline F & & & & & &1 & & &1 & \\ \hline G &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline I & & & & & & & & &1 & \\ \hline J &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
一般性骨架矩阵如下：$$S=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline A & &1 & & & &1 & & & & \\ \hline B & & &1 & & & & & & & \\ \hline C & & & &1 & & & & & & \\ \hline D & & & & &1 & & & & & \\ \hline E & & & & & & &1 & & & \\ \hline F & & & & & & & & &1 & \\ \hline G & & & & & & & &1 & & \\ \hline H & & & & & & & & & &1\\ \hline I & & & & & & & & & & \\ \hline J &1 & & & & & & & & & \\ \hline \end{array} $$