可达矩阵的四种求解方法：自乘，幂乘，Warshall转移闭包法、一次性Warshall法

~
计算方式
优缺点
自乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：自乘矩阵一直乘下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。通常计算都是用这种方法，大部分教科书也是用的这种方法。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！
幂乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：得到的矩阵称之为幂矩阵，幂矩阵再相乘，一直这样平方下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！

另外一个由于幂矩阵中的为1的值相对较多。其实际运算速度不一定就比自乘法快，虽然其，矩阵乘法运算次数相对于自乘法要少！
Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的相对于自乘矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
改进Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
一次性Warshall法

第一步：根据原始矩阵求出所有的强连通分量

第二步：根据强连通分量得到的是一个良好拓扑排序的矩阵

第三步：从上到下，进行一次Warshall运算就得到了可达矩阵。

优点：运算速度得到数量级的提高。

缺点：难理解！

在矩阵对角线下一个对角线上全部输入1，只要一次Wallshall就可以得出可达矩阵！



可达矩阵如下


$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline A &1 &1 & &1 &1 &1 &1 & \\ \hline B &1 &1 & &1 &1 &1 &1 & \\ \hline C &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & \\ \hline D &1 &1 & &1 &1 &1 &1 & \\ \hline E &1 &1 & &1 &1 &1 &1 & \\ \hline F &1 &1 & &1 &1 &1 &1 & \\ \hline G &1 &1 & &1 &1 &1 &1 & \\ \hline H &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$

矩阵的表示形式


   ABCDEFGH
A    1                  
B 1                1   
C 1                     
D                1      
E          1            
F 1       1            
G             1         
H       1               

矩阵的表示形式


原始矩阵 可达矩阵
   ABCDEFGH
A    1                  
B 1                1   
C 1                     
D                1      
E          1            
F 1       1            
G             1         
H       1               
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1

可达矩阵的求解,其中其中快速（迭代）Warshall的转移闭包与逼近的可达矩阵的速度最快

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
   ABCDEFGH
A 1 1                  
B 1 1             1   
C 1    1               
D          1    1      
E          1 1         
F 1       1    1      
G             1    1   
H       1             1
   ABCDEFGH
A 1 1                  
B 1 1             1   
C 1    1               
D          1    1      
E          1 1         
F 1       1    1      
G             1    1   
H       1             1
   ABCDEFGH
A 1 1                  
B 1 1             1   
C 1    1               
D          1    1      
E          1 1         
F 1       1    1      
G             1    1   
H       1             1
2
   ABCDEFGH
A 1 1             1   
B 1 1       1    1   
C 1 1 1               
D 1       1    1      
E          1 1 1      
F 1 1    1    1      
G          1 1    1   
H 1    1             1
   ABCDEFGH
A 1 1             1   
B 1 1       1    1   
C 1 1 1               
D 1       1    1      
E          1 1 1      
F 1 1    1    1      
G          1 1    1   
H 1    1             1
   ABCDEFGH
A 1 1             1   
B 1 1       1    1   
C 1 1 1          1   
D 1       1    1      
E 1       1 1 1      
F 1 1    1    1 1   
G 1       1 1 1 1   
H 1 1 1          1 1
3
   ABCDEFGH
A 1 1       1    1   
B 1 1    1 1    1   
C 1 1 1          1   
D 1 1    1    1      
E 1       1 1 1      
F 1 1    1    1 1   
G          1 1 1 1   
H 1 1 1             1
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1    1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1    1    1   
D 1 1    1    1 1   
E 1 1    1 1 1      
F 1 1    1 1 1 1   
G 1       1 1 1 1   
H 1 1 1          1 1
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1
4
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1    1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1    1    1   
D 1 1    1    1 1   
E 1 1    1 1 1      
F 1 1    1 1 1 1   
G 1       1 1 1 1   
H 1 1 1          1 1
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1
5
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1    1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1    1    1 1
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1
6
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1    1 1
7
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1
8
   ABCDEFGH
A 1 1    1 1 1 1   
B 1 1    1 1 1 1   
C 1 1 1 1 1 1 1   
D 1 1    1 1 1 1   
E 1 1    1 1 1 1   
F 1 1    1 1 1 1   
G 1 1    1 1 1 1   
H 1 1 1 1 1 1 1 1

逐次平法法进行布尔乘积的次数虽然要少于自乘的方式，但是由于中间矩阵中值为1的个数更多，所以整个获得可达矩阵的时间效率上来说，它不一定快，甚至更慢！，只有改进为集合求解方式，其效率会大大加快


下图为它们的可达集合标记法，链表标识方式

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
A A、B、
B A、B、G、
C A、C、
D D、F、
E D、E、
F A、D、F、
G E、G、
H C、H、
A A、B、
B A、B、G、
C A、C、
D D、F、
E D、E、
F A、D、F、
G E、G、
H C、H、
A A、B、
B A、B、G、
C A、C、
D D、F、
E D、E、
F A、D、F、
G E、G、
H C、H、
2
A A、B、G、
B A、B、E、G、
C A、B、C、
D A、D、F、
E D、E、F、
F A、B、D、F、
G D、E、G、
H A、C、H、
A A、B、G、
B A、B、E、G、
C A、B、C、
D A、D、F、
E D、E、F、
F A、B、D、F、
G D、E、G、
H A、C、H、
A A、B、G、
B A、B、E、G、
C A、B、C、G、
D A、D、F、
E A、D、E、F、
F A、B、D、F、G、
G A、D、E、F、G、
H A、B、C、G、H、
3
A A、B、E、G、
B A、B、D、E、G、
C A、B、C、G、
D A、B、D、F、
E A、D、E、F、
F A、B、D、F、G、
G D、E、F、G、
H A、B、C、H、
A A、B、D、E、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、E、G、
D A、B、D、F、G、
E A、B、D、E、F、
F A、B、D、E、F、G、
G A、D、E、F、G、
H A、B、C、G、H、
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、F、G、H、
4
A A、B、D、E、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、E、G、
D A、B、D、F、G、
E A、B、D、E、F、
F A、B、D、E、F、G、
G A、D、E、F、G、
H A、B、C、G、H、
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、F、G、H、
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、F、G、H、
5
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、E、G、H、
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、F、G、H、
6
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、G、H、
7
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、F、G、H、
8
A A、B、D、E、F、G、
B A、B、D、E、F、G、
C A、B、C、D、E、F、G、
D A、B、D、E、F、G、
E A、B、D、E、F、G、
F A、B、D、E、F、G、
G A、B、D、E、F、G、
H A、B、C、D、E、F、G、H、

比较求解过程中每一步矩阵值与上一个矩阵的变化


矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 逐次平方法 快速转移法，Warshall快速转移
1
   ABCDEFGH
A 1 1                  
B 1 1             1   
C 1    1               
D          1    1      
E          1 1         
F 1       1    1      
G             1    1   
H       1             1
   ABCDEFGH
A 1 1                  
B 1 1             1   
C 1    1               
D          1    1      
E          1 1         
F 1       1    1      
G             1    1   
H       1             1
   ABCDEFGH
A 1 1                  
B 1 1             1   
C 1    1               
D          1    1      
E          1 1         
F 1       1    1      
G             1    1   
H       1             1
2
A B C D E F G H
A 11 　 　 　 　 1 　
B 11 　 　 1 　 1 　
C 11 1 　 　 　 　 　
D 1 　 　 1 　 1 　 　
E 　 　 　 111 　 　
F 11 　 1 　 1 　 　
G 　 　 　 1 1 　 1 　
H 1 　 1 　 　 　 　 1
A B C D E F G H
A 11 　 　 　 　 1 　
B 11 　 　 1 　 1 　
C 11 1 　 　 　 　 　
D 1 　 　 1 　 1 　 　
E 　 　 　 111 　 　
F 11 　 1 　 1 　 　
G 　 　 　 1 1 　 1 　
H 1 　 1 　 　 　 　 1
A B C D E F G H
A 11 　 　 　 　 1 　
B 11 　 　 1 　 1 　
C 11 1 　 　 　 1 　
D 1 　 　 1 　 1 　 　
E 1 　 　 111 　 　
F 11 　 1 　 11 　
G 1 　 　 1 11 1 　
H 1 1 1 　 　 　 1 1
3
A B C D E F G H
A 11 　 　 1 　 1 　
B 11 　 1 1 　 1 　
C 111 　 　 　 1 　
D 11 　 1 　 1 　 　
E 1 　 　 111 　 　
F 11 　 1 　 11 　
G 　 　 　 111 1 　
H 11 1 　 　 　 　 1
A B C D E F G H
A 11 　 1 1 　 1 　
B 11 　 1 11 1 　
C 111 　 1 　 1 　
D 11 　 1 　 11 　
E 1 1 　 111 　 　
F 11 　 11 11 　
G 1 　 　 111 1 　
H 11 1 　 　 　 1 1
A B C D E F G H
A 11 　 1 1 1 1 　
B 11 　 1 11 1 　
C 1111 1 1 1 　
D 11 　 11 11 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 11 11 　
G 11 　 1111 　
H 1111 1 1 11
4
A B C D E F G H
A 11 　 1 1 　 1 　
B 11 　 111 1 　
C 111 　 1 　 1 　
D 11 　 1 　 11 　
E 11 　 111 　 　
F 11 　 11 11 　
G 1 　 　 1111 　
H 111 　 　 　 1 1
A B C D E F G H
A 11 　 111 1 　
B 11 　 1111 　
C 1111 11 1 　
D 11 　 11 11 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 1111 1 1 11
A B C D E F G H
A 11 　 1111 　
B 11 　 1111 　
C 1111111 　
D 11 　 1111 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 11111111
5
A B C D E F G H
A 11 　 111 1 　
B 11 　 1111 　
C 1111 1 　 1 　
D 11 　 11 11 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 111 　 1 　 11
A B C D E F G H
A 11 　 1111 　
B 11 　 1111 　
C 1111111 　
D 11 　 1111 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 11111111
6
A B C D E F G H
A 11 　 1111 　
B 11 　 1111 　
C 111111 1 　
D 11 　 1111 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 1111 1 　 11
7
A B C D E F G H
A 11 　 1111 　
B 11 　 1111 　
C 1111111 　
D 11 　 1111 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 111111 11
8
A B C D E F G H
A 11 　 1111 　
B 11 　 1111 　
C 1111111 　
D 11 　 1111 　
E 11 　 1111 　
F 11 　 1111 　
G 11 　 1111 　
H 11111111

化学加平台
解释结构模型
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